摘要：本文主要讨论了普朗克公式为什么会在全波段符合，维恩公式为什么在长波段出现微小偏差，瑞利金斯公式错在哪，以及黑体辐射的内在规律。
首先，第一个问题，普朗克公式为什么会在全波段符合？
先看下图
在回答这个问题之前要先明确一点，普朗克是建立在维恩公式之上的，如下图所示，
上式是维恩公式，下式是普朗克公式，普朗克在维恩公式的基础上做了微调整，在分母上做了减一处理。本来维恩公式已经符合的很好，只是在长波波段与实验数据稍有偏差，比实验值略低一点。
分母减一带来两个结果，一是分母比较大时，-1几乎对结果没有影响，而在分母变得很小后，减一将会使得结果明显提高。
举个例子，当分母为一万时，1/10000与1/9999没什么差异，分母较小时，比如1/4变成 1/3，后者有了明显的提高。
这也就导致当频率较高，分母较大时，修正后的数值几乎不变，而频率较低（波长较长）分母较小时，数值明显增大。
最终的结果就是，普朗克曲线与维恩曲线相比，前面的曲线几乎没动，后面的曲线有了显著的抬升。这样，实验值就与理论值（普朗克公式）符合了。
客观来讲，这不像是一次伟大的创新，理论的颠覆，这更像是一次微创新，或者一个数学技巧。
对于大多数人来说，可能并不熟悉这一点，有些人认为两个公式相差甚远，如下图所示。
其实上普朗克公式除了在分母上多了减一其他与维恩公式并无二致。
实际上维恩公式诞生之后因为与实验数值极其符合而被普遍认为就是黑体辐射规律。普朗克在1896年后的工作基本上就是进一步从统计物理和电磁场理论的角度来理解和论证维恩的公式，一直围绕着维恩公式转，也以为这就是黑体辐射的普遍规律，为此花了6年的心血。直到1900年10月鲁本斯的来访[3，4]。鲁本斯提到，1900年6月瑞利 (Rayleigh，图2左) 在英国哲学杂志Philo. Mag.发表了一篇犀利的短文(图4)，对维恩公式的普适性提出异议，并用纯经典理论提出了一个辐射强度与温度成正比的公式。
鉴于一年前陆末Lummer在近红外实验中就指出了对维恩公式的偏离。现在又知道，半年前瑞利就开始琢磨低频极限问题，并和鲁本斯互相呼应进行超越维恩定律的工作，普朗克感受到了挑战，在鲁本斯走后，普朗克急忙进入书房研究，用插值法得到一个处理分母的修正值，对维恩公式做出了修正。
普朗克公式并不是如传言一般融合了维恩公式和瑞利金斯公式，而是只是建立在维恩公式之上的。关于普朗克仅仅在维恩公式分母减一这件事，在学界并不是秘密，普朗克也并不避讳这一点，他的第一个相关报告的标题就是《维恩能谱公式之改进》。但是，学术界对于普通大众似乎总是有意无意的淡化这一点。
毕竟，任谁看到这两个公式的微小差异都会有所疑问：哦，原来，普朗克公式只是对维恩公式做了小小的改动。
第二个问题，维恩公式为什么在长波波段出现偏差，比实验值略低一点。
如下图所示。
图片引自2023年10月23日中科院物理所发表的一篇文章《爱因斯坦对量子假说的初步探索》
绝大多数的图片都是单一温度下维恩曲线与实验曲线的对比，实际上，当时的实验物理学家并不仅仅只对比了一个温度下的数据。当时陆末 (Lummer) 和Pringsheim的实验和维恩公式的对照，如图所示。应该说，二者基本符合，维恩公式一时几乎就代表了完全的黑体辐射定律。仔细察看每一条等温曲线会发现，当温度较低或波长较短时，维恩理论(圈号，虚线) 和实验 (叉号，实线) 一致性非常好，几乎覆盖了整个可见光和近红外波段。然而，陆末和Pringsheim同时指出，当温度和波长均高时，或它们的乘积λT够大时，就有微小的偏差产生，随着λT增加偏差亦渐增。
简单来说就是当温度较低时，维恩曲线与实验曲线符合的很好。当温度升高后，开始出现微小差异，且温度越高，偏差越明显。
为什么出现这种情况？首先要了解一下当时的实验装置。如下图所示
（左图） Lummer和Pringsheim使用的辐射计。辐射计基于热测量，入射的光被接收的金属片吸收，被加热的金属片的电阻由Wheatstone电桥精确测量。据说其温度分辨达10-7 K {曹：我对此说法存疑}。（右图）Lummer和Kurlbaum 制作的电加热黑体辐射源。
选自中科院物理所研究员曹则贤的文章《黑体辐射公式的多种推导及其在近代物理构建中的意义(一) | 贤说八道》
上图为柏林帝国物理技术研究机构的辐射实验室
当时的黑体装置是通过电加热的，温度也上升到了1600摄氏度以上，在这种情况下，导线必然是升温发热的，另外装置附近的物体也有可能受其影响有所升温，它们也会散发长波辐射，而且长波辐射穿透性强，难以隔绝。如此，一旦辐射计将外来长波辐射也纳入统计，则会使得实验数值偏高。
这是一种很大的可能性。
那么，如何来验证这各猜想？重复黑体辐射实验，作对比，前一组实验复刻实验，后面一组尽可能的屏蔽外界长波辐射（又或者尽可能的降低实验环境温度，比如贴近绝对零度，以减少其他物体的长波辐射），如果后者的曲线与维恩曲线重合，甚至于不需要重合，只要增加屏蔽之后，曲线有明显的向着维恩曲线贴近的趋势，只要能确认这一点，就能验证猜想，就能得到结论，实验曲线之所谓稍高于维恩曲线，是因为外界的长波干扰，长波摄入。
完全屏蔽外界长波辐射，这个实验条件是十分苛刻的。这里有个简单的验证思路，就是同样的实验条件，白天做和深夜做，对比数据。因为白天多了太阳这个6000K的辐射源，它的长波辐射是个明显且巨大的干扰因素。在同样的实验条件下，如果能确认白天的数值比深夜的数值略高，也可以验证这一点。
第三个问题，黑体辐射存在哪些规律？
假设光就是波，横波，像线条一根一根的那样。那么就要引入一个物理量，电磁波的量n，即电磁波的数量，通俗理解就是电磁波有多少根。
那么，温度为T的物体，单位面积上辐射出各种各样的混合光，这些电磁波符合这样一个规律，频率越大的高能电磁波，数量n必然就越少。
频率v小的，比如红外线，微波等弱电磁波，数量n就多。
v越大，n越小。
v越小，n越大。这是符合逻辑。
两者此消彼长！频率v递增，电磁波的量呈现递减的趋势。
如果电磁波可以细分到某一根，那么每一根的能力应该与频率有关。P0=f（v），单根电磁波的功率是关于频率v的函数，比如说P0=hv或者P0=khv，这个函数是单调函数，频率越大P0越大。这是符合事实的。
如果维恩公式最终被证实是正确的，那么单色光的总功率的表达式实际就是单根功率与数量的乘积，即P=nP0，如果P0=hv，那么维恩公式剩下的那部分就是n， 当然P0也可能是频率平方的函数。不管怎样，确定了P0，另外那部分就是n。
频率越高（的电磁波），数量越少。
频率越低（的电磁波），数量越多。
两者此消彼长，随着频率增大，电磁波的量呈现递减的趋势，从公式可以看出，这种递减不是线性递减，而是以e的指数幂的形式。
一个向着无穷大递变的同时，另一个向着无穷小演变。无穷大与无穷小的乘积可以接近于零，就像黑体曲线的两端趋于零，因为一方增大的速度赶不上另一方减小的速度。
一个向着无穷大递变，一个向着无穷小递变，两者交叉的部位附近，会出现一个乘积的最大值。（其实两个物理量分属不同的概念，并不会交集，想象成两条曲线交叉是为了更容易理解为什么会出现一个极大值）。这就造成n和f（v）的乘积呈现出中间高，两头趋向于零，这就解释了为什么黑体辐射的曲线图是个山的形状。
这个似乎并不是很难理解。
同时，瑞利金斯公式在讨论振子的数量时，即电磁波的量时，并没有考虑到这一点。在它的公式里，电磁波的频率越高，数量反而越高，这是不符合逻辑也有悖于事实的。频率越高，数量应该是递减的，非线性递减的。这是破除“紫外灾难”疑惑的核心关键。
想通这一点并不难（我不理解这个问题为什么存在了百年以上）
做对比实验，验证维恩公式是否正确，是目前要做的时。
细分并统计电磁波的量，验证其函数表达式，是未来三十年要做的事。
刘顺国
2023.11.20